피타고라스의 정리: 두 판 사이의 차이

2026년 1월 21일 (수) 18:08 기준 최신판

개요

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 수학 공식이다. 이는 유클리드 기하학의 가장 기본적인 정리 중 하나로, 고대 그리스의 피타고라스가 정리한 것으로 알려져 있으나 실제로는 그 이전부터 여러 문명권에서 실용적으로 사용되어 왔다.

공식

공식은 다음과 같다.

a² + b² = c²

여기서 c는 직각삼각형의 가장 긴 변인 빗변을 의미하며, a와 b는 직각을 끼고 있는 나머지 두 변을 의미한다. 빗변의 길이 c를 직접 구하는 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

c = √(a² + b²)

증명 방법

피타고라스의 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 현재까지 알려진 증명법만 수백 가지에 달한다.

유클리드의 증명

직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 개의 정사각형을 그려서, 빗변 위의 정사각형 넓이가 나머지 두 정사각형 넓이의 합과 같음을 기하학적으로 증명하는 방식이다.

가필드의 증명

미국의 제20대 대통령 제임스 가필드가 고안한 방법으로, 합동인 두 직각삼각형을 이용해 사다리꼴을 만들어 그 넓이 관계를 통해 정리의 성립을 증명한다.

피타고라스의 수

정리 식을 만족하는 세 자연수의 쌍 (a, b, c)를 피타고라스의 수라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다.

(3, 4, 5): 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25)
(5, 12, 13): 5² + 12² = 13² (25 + 144 = 169)
(8, 15, 17): 8² + 15² = 17² (64 + 225 = 289)

응용 및 확장

좌표평면: 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 거리를 구할 때 이 정리가 핵심적으로 사용된다.
코사인 법칙: 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형으로 확장하면 c² = a² + b² - 2ab cos C가 성립하는데, 피타고라스의 정리는 여기서 각 C가 90도인 특수한 경우이다.

기타

고대 중국의 수학서 『주비산경』에서는 이를 '구고현의 정리'라고 불렀다.
바빌로니아의 점토판 '플림튼 322'에는 피타고라스 이전 시대에 이미 피타고라스의 수를 나열한 기록이 남아 있다.

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 == 개요 ==
-'''피타고라스의 정리'''는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 수학 공식이다.
+'''피타고라스의 정리'''는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 수학 공식이다. 이는 유클리드 기하학의 가장 기본적인 정리 중 하나로, 고대 그리스의 피타고라스가 정리한 것으로 알려져 있으나 실제로는 그 이전부터 여러 문명권에서 실용적으로 사용되어 왔다.
 == 공식 ==
- 공식은 다음과 같다.
-: a² + b² = c²
+공식은 다음과 같다.
+: ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup>
+여기서 ''c''는 직각삼각형의 가장 긴 변인 빗변을 의미하며, ''a''와 ''b''는 직각을 끼고 있는 나머지 두 변을 의미한다. 빗변의 길이 ''c''를 직접 구하는 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
+: ''c'' = √(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>)
+== 증명 방법 ==
+피타고라스의 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 현재까지 알려진 증명법만 수백 가지에 달한다.
+=== 유클리드의 증명 ===
+직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 개의 정사각형을 그려서, 빗변 위의 정사각형 넓이가 나머지 두 정사각형 넓이의 합과 같음을 기하학적으로 증명하는 방식이다.
+=== 가필드의 증명 ===
+미국의 제20대 대통령 제임스 가필드가 고안한 방법으로, 합동인 두 직각삼각형을 이용해 사다리꼴을 만들어 그 넓이 관계를 통해 정리의 성립을 증명한다.
+== 피타고라스의 수 ==
+정리 식을 만족하는 세 자연수의 쌍 (''a'', ''b'', ''c'')를 피타고라스의 수라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다.
+* (3, 4, 5): 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup> (9 + 16 = 25)
+* (5, 12, 13): 5<sup>2</sup> + 12<sup>2</sup> = 13<sup>2</sup> (25 + 144 = 169)
+* (8, 15, 17): 8<sup>2</sup> + 15<sup>2</sup> = 17<sup>2</sup> (64 + 225 = 289)
+== 응용 및 확장 ==
+* '''좌표평면''': 두 점 (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)과 (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) 사이의 거리를 구할 때 이 정리가 핵심적으로 사용된다.
+* '''코사인 법칙''': 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형으로 확장하면 ''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> - 2''ab'' cos ''C''가 성립하는데, 피타고라스의 정리는 여기서 각 ''C''가 90도인 특수한 경우이다.
 == 기타 ==
+* 고대 중국의 수학서 『주비산경』에서는 이를 '구고현의 정리'라고 불렀다.
+* 바빌로니아의 점토판 '플림튼 322'에는 피타고라스 이전 시대에 이미 피타고라스의 수를 나열한 기록이 남아 있다.
+== 관련 항목 ==
+* [[직각삼각형]]
+* [[유클리드 기하학]]
+* [[코사인 법칙]]
+* [[삼각함수]]