개요
피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 수학 공식이다. 이는 유클리드 기하학의 가장 기본적인 정리 중 하나로, 고대 그리스의 피타고라스가 정리한 것으로 알려져 있으나 실제로는 그 이전부터 여러 문명권에서 실용적으로 사용되어 왔다.
공식
공식은 다음과 같다.
- a2 + b2 = c2
여기서 c는 직각삼각형의 가장 긴 변인 빗변을 의미하며, a와 b는 직각을 끼고 있는 나머지 두 변을 의미한다. 빗변의 길이 c를 직접 구하는 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
- c = √(a2 + b2)
증명 방법
피타고라스의 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 현재까지 알려진 증명법만 수백 가지에 달한다.
유클리드의 증명
직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 개의 정사각형을 그려서, 빗변 위의 정사각형 넓이가 나머지 두 정사각형 넓이의 합과 같음을 기하학적으로 증명하는 방식이다.
가필드의 증명
미국의 제20대 대통령 제임스 가필드가 고안한 방법으로, 합동인 두 직각삼각형을 이용해 사다리꼴을 만들어 그 넓이 관계를 통해 정리의 성립을 증명한다.
피타고라스의 수
정리 식을 만족하는 세 자연수의 쌍 (a, b, c)를 피타고라스의 수라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다.
- (3, 4, 5): 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25)
- (5, 12, 13): 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)
- (8, 15, 17): 82 + 152 = 172 (64 + 225 = 289)
응용 및 확장
- 좌표평면: 두 점 (x1, y1)과 (x2, y2) 사이의 거리를 구할 때 이 정리가 핵심적으로 사용된다.
- 코사인 법칙: 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형으로 확장하면 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C가 성립하는데, 피타고라스의 정리는 여기서 각 C가 90도인 특수한 경우이다.
기타
- 고대 중국의 수학서 『주비산경』에서는 이를 '구고현의 정리'라고 불렀다.
- 바빌로니아의 점토판 '플림튼 322'에는 피타고라스 이전 시대에 이미 피타고라스의 수를 나열한 기록이 남아 있다.